Sistem Persamaan & Pertidaksamaan Linear (Azarine A.A.B/XII MIPA 4/05)

Halo Sahabat Fourza, 

Kali ini kita akan bahas materi sistem persamaan dan sistem pertidaksamaan linier. Nanti disetiap bab akan dibahas persamaan umum, cara penyelesaian, contoh soal dan latihan. Ada video daaan ada juga forum diskusinya bagi yang mau tanya tanya. 

Jadi pertama kita akan bahas tentang Sistem Persamaan Linier (SPL), materi ini kita bagi jadi 2 sub bab ya, satu variabel, dua variabel dan tiga variabel.  2 Sub-bab ini saling berkaitan, jadi kalau paham di sub-bab pertama, di sub-bab kedua bisa.

Persamaan Linier adalah persamaan aljabar yang sukunya mengandung konstanta atau perkalian konstanta dengan variabel berpangkat satu, Tidak muncul sebagai argumen fungsi trigonometri, eksponensial ataupun logaritma, tidak melibatkan hasil kali variabel maupun akar variabel.

Mengapa persamaan ini disebut linier? karena apabila persamaan digambar di koordinat kartesius bentuknya berupa garis lurus (Linier)

Gambar Persamaan Linier di Bidang Kartesius

Untuk tahu apakah suatu persamaan disebut persamaan linier atau bukan, perhatikan contoh soal dibawah ini :

 1. Diberikan Fungsi :

     (a) 9x +7y = 5                  (d) 5a + 7y + 6b = 5.000         (g) x cos θ + y sin θ = 1

     (b) 3a - 5b = 7                  (e) x log 100 + y log 2 = 5      (h)
     (c) 2x = 17                       (f)                   (i)
     Manakah yang merupakan persamaan linier?
               
      Jawaban :
      Persamaan (a), (b),(c) dan (d) adalah persamaan linier karena pangkat variabelnya satu, tidak ada perkalian variabel serta variabelnya tidak memuat argumen fungsi logaritma, eksponensial atau  trigonometri. Walaupun berbeda jumlah variabel namun ketiganya adalah persamaan linier. Persamaan (e)  persamaan linier karena variabelnya bukan merupakan argumen fungsi logaritma.Persamaan (f)  bukan persamaan linier karena variabel berpangkat tidak sama dengan 1. Persamaan (g)  persamaan  linier karena variabelnya bukan merupakan argumen fungsi       trigonometri,  Persamaan (h) bukan persamaan linier karena variabelnya  merupakan argumen          fungsi  eksponensial .  Persamaan (i) bukan persamaan linier karena variabelnya       menjadi            argumen  fungsi  logaritma.

Latihan 1
1. Manakah diantara persamaan berikut yang merupakan persamaan linear?
    (a)      (c) x log 2 + y log 9 = 2          (e)
    (b) 4x-5y =7                 (d) 9 sin θ + 5 cos θ = 1

Setelah mengetahui apa itu persamaan linear, maka kita dapat mengetahui persamaan umumnya :

ax + b = c 

a, b, c = konstanta

x = variabel

Apabila persamaan linier lebih dari 1 digabungkan dan memiliki keterkaitan  satu sama lain maka membentuk suatu sistem. Jika merupakan sistem maka sebelum persamaan ada tanda kurung buka. Sistem Persamaan linier dibagi menjadi 2 yaitu 2 variabel dan 3 variabel. Perbedaannya ada di tabel dibawah :

 Cara Penyelesaian SPLDV dengan Cara Substitusi, Eliminasi, Eli-Susi dan Grafik
 Diberikan SPLDV berikut :


Tentukan Nilai X dan Y!

1. Cara Substitusi : 
    Pindahkan semua variabel ke ruas kanan sampai hanya sisa 1 variabel  ber koefisen 1di      kiri
    2x + y =12          
            y = 12-2x...... (1)

    Masukkan Persamaan 1 ke persamaan yang lain dalam sistem
    5x + 10(12-2x) = 50
    5x  +120-20x    = 50
                  -15x  = 50 -120

                       x  = 
                       x  = 4,6666
     Setelah x didapat, masukkan nilai x ke persamaan 1
     y = 12- 2(8)
     y = 2,666
     
     didapatkan bahwa x = 4,6666 dan y= 2,666

2. Cara Eliminasi
    Samakan jumlah koefisien variabel yang ingin dieliminasi, di soal ini adalah y.
    2x+ y     = 12    |x10|
    5x+10 y  = 50
   -------------------- -

    20 x + 10 y = 120
    5x    + 10 y = 50
---------------------- -
   15 x          = 70
               x  = 4,6666
x sudah diketahui nilainya, sekarang eliminasi untuk mencari nilai variabel y
5x + 10 y =50   |x2|
    2x  + y    = 12   |x5|
    ------------------------ -
     
   10x + 20y = 100
   10 x + 5y =    60
   ---------------------- -

            15 y = 40
                y  = 2,6666

3. Cara Eliminasi - Substitusi (Eli-Susi)
    5x + 10 y =50   |x2|
    2x  + y    = 12   |x5|
    ------------------------ -
     
   10x + 20y = 100
   10 x + 5y =    60
   ---------------------- -
            15 y = 40
                    y = 2,666

   Masukkan hasil variabel y ke salah satu persamaan :
   2x + 2,666 = 12
                 2x = 12 - 2,666
                    x = 4,667

Latihan 2 :
Tentukan Penyelesaian SPLDV berikut dengan ketiga metode diatas :

Untuk Lebih Jelasnya berikut adalah video penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel :

Penyelesaian sistem persamaan linier tiga variabel :

Pada SPL 3 variabel , cara-caranya sama namun lebih rumit. Gunakan cara pada video diatas untuk mengerjakan soal- soal berikut :

Cara Menyelesaikan SPLtV dengan cara substitusi - eliminasi :

Soal :

2x + 3y – z = 20

3x + 2y + z = 20

x + 4y + 2z = 15

Jawab :

Ketiga persamaan bisa kita beri nama persamaan (1), (2), dan (3)

2x + 3y – z = 20 ………………………..(1)

3x + 2y + z = 20 ………………………..(2)

x + 4y + 2z = 15 ………………………..(3)

Sistem persamaan ini harus kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 2 variabel. Untuk itu kita eliminasi variabel z

Sekarang persamaan (1) dan (2) kita jumlahkan

2x + 3y – z = 20

3x + 2y + z = 20_____   +

5x + 5y = 40

x + y = 8 ………………….(4)

Selanjutnya persamaan (2) dikali (2) dan persamaan (3) dikali (1) sehingga diperoleh

6x + 4y + 2z = 40

x + 4y + 2z = 15____  _

5x = 25

x = 5

Nilai x ini kita subtitusi ke persamaan (4) sehingga

x + y = 8

5 + y = 8

y = 3

selanjutnya nilai x dan y yang ada kita subtitusikan ke persamaan (2)

3x + 2y + z = 20

3.5 + 2.3 + z = 20

15 + 6 + z = 20

z = -1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, -1)}

 Setelah Persamaan, selanjutnya kita akan bahas tentang pertidaksamaan linier

Pertidaksamaan Linier adalah Pertidaksamaan Linier satu variabel adalah pertidaksamaan yang hanya memiliki satu variabel yang belum diketahui nilainya, dan variabelnya berpangkat satu. Pertidaksamaan ditandai dengan simbol "<" ( kurang dari), ">" (lebih dari), ≥ ( lebih dari sama dengan), ≤ (Kurang dari sama dengan).

Metode penyelesaian pertidaksamaan linier satu variabel. 
Bentuk Umum dari pertidaksamaan linier adalah :

ax+b < 0, ax+b > 0 atau ax + b ≥ 0 , a, b adalah bilangan real dan a bukan 0

Diberikan himpunan semesta S= {0,1,2,3,4,5,6,7,8} jika x termasuk dalam semesta, tentuka himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut :

 (a) x ≤ 3  maka nilai yang memenuhi adalah 0,1,2,3, maka himpunan penyelesaian                                    pertidaksamaan x ≤ 3 adalah {0,1,2,3}

(b) 3 < x  ≤ 6 maka nilai yang memenuhi adalah 4, 5, 6, Jadi himpunan penyelesaian dari 3 < x  ≤ 6  

      adalah {4,5,6}

Latihan 4

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier berikut jika semesta himpunannya S = {-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} 

 1. 4x-1 ≥ 3

 2. 2x + 3 < 5-x

Cara Menyelesaikan pertidaksamaan linier

Video untuk membantu pengerjaan soal :

Latihan Soal 5 :
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear berikut jika semestanya adalah himpunan bilangan real
 1. 5x + 2 > x - 6
 2.  -1 < 6x + 4 ≤ 6
 3. 4r + 3 ≤  2r-3
 4. 3 < 9 +  x   ≤ 17