Fungsi, Komposisi Fungsi, Fungsi invers, dan Grafik Fungsi oleh Allamanda (03)

A. Fungsi

Fungsi, atau disebut juga pemetaan, merupakan sebuah relasi yang khusus. Fungsi/pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A, dengan tepat satu anggota B. Dengan demikian, setiap anggota himpunan A mempunyai tepat satu kawan dengan anggota himpunan B. Jadi, fungsi sudah pasti sebuah relasi, tetapi relasi belum tentu sebuah fungsi.

Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan x anggota A ke y anggota B, maka fungsi f dapat dinotasikan sebagai berikut:

Aljabar Fungsi

Sebelum membahas komposisi fungsi, mari mengulang lagi tentang sifat-sifat fungsi aljabar.

Jika f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi aljabar yang terdefinisi, maka berlaku sifat-sifat fungsi aljabar berikut.

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)

2. (f - g)(x) = f(x) - g(x)

3. (f . g)(x) = f(x) . g(x)

4. (f /g)(x) = f(x) / g(x) , g(x) tidak sama dengan 0

5. fn(x) = [f(x)]n

Contoh 1

Diketahui f(x) = 2x + 1, g(x) = x2 - 2, dan h(x) = 4x.

Tentukan

a. (f +g)(x)

b. (f - g)(x)

c. f.g(x), dan

d. (f/g)(x).

Jawaban:

a. (f + g)(x) = f(x) + g(x)

= (2x + 1) + (x2 - 2)

= x2 + 2x - 1

b. (f - g)(x) = f(x) - g(x)

= (2x + 1) - (x2 - 2)

= -x2 + 2x + 3

c. f.g(x) = f(x) . g(x)

= (2x + 1) (x2 - 2)

= 2x3 - 4x + x2 - 2

= 2x3 + x2 - 4x - 2

d. f/g(x) = f(x)/g(x)

= (2x + 1)/(x2 - 2)

B. Fungsi Komposisi

Komposisi Fungsi

Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke B dan g adalah fungsi dari B ke C , maka suatu fungsi h dari A ke C disebut fungsi komposisi.

Fungsi komposisi tersebut dinyatakan dengan h(x) = g o f (x) (dibaca: g bundaran f)

Secara grafik, komposisi fungsi di atas digambarkan seperti berikut.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh 1

Diketahui fungsi f(x) = 3x – 5 dan g(x) = 2x + 1.

Tentukan:

a. (f o g)(x)

b. (g o f)(x)

c. (f o g)(2)

d. (g o f)(6)

Jawaban:

a. (f o g)(x) = f (g(x)) = 3 g(x) - 5

= 3(2x + 1) - 5

= 6x + 3 - 5

= 6x - 2

b. (g o f)(x) = g (f(x))

= 2 f(x) + 1

= 2(3x - 5) + 1

= 6x - 10 + 1

= 6x - 9

c. (f o g)(x) = 6x - 2

(f o g)(2) = 6 x 2 - 2

= 12 - 2

= 10

d. (g o f)(x) = 6x -9

(g o f)(6) = 6 x 6 - 9

= 36 - 9

= 27

Sekarang bagaimana jika menentukan fungsi yang di depan atau di belakang dari komposisi fungsi yang diketahui dan salah satu fungsi pembentuknya juga diketahui?

Misalkan f o g(x) diketahui dan f(x) diketahui, bagaimana menentukan g(x)?

atau

Misalkan f o g(x) diketahui dan g(x) diketahui, bagaimana menentukan f(x)?

Mari kita bahas dengan beberapa contoh berikut.

Contoh 2

Diketahui (f o g)(x) = 6x + 7 dan f(x) = 2x + 3. Tentukan fungsi g(x).

Jawaban:

Caranya, substitusikan g(x) ke dalam f(x) sehingga diperoleh bentuk berikut.

(f o g)(x) = 6x + 7 atau ditulis:

f(g(x)) = 6x + 7

2.g(x) + 3 = 6x + 7

2.g(x) = 6x + 7 - 3

2.g(x) = 6x + 4

g(x) = (6x + 4) /2

g(x) = 3x + 2

Jadi, fungsi g(x) = 3x + 2

C. Fungsi Invers

Jika kita mempunyai fungsi f(x) yang memetakan dari x ke y, maka dapat dituliskan sebagai y = f(x). Namun sebaliknya, jika terdapat suatu fungsi yang memetakan y ke x sehingga ditulis x = f^-1(y), maka fungsi ini dinamakan invers fungsi dari fungsi f(x). Invers fungsi f(x) ini dituliskan dalam bentuk f^-1(x).

Perhatikan contoh berikut untuk menjelaskan pengertian invers fungsi di atas.

Misalkan terdapat fungsi f(x) = 2x + 1, untuk domain {0, 1, 2, 3}

Sehingga diperoleh:

f(0) = 1, f(1) = 3, f(2) = 5, dan f(3) = 7

Untuk sebaliknya, invers fungsinya dapat digambarkan sebagai berikut.

f^-1(1) = 0, f^-1(3) = 1, f^-1(5) = 2, dan f^-1(7) = 3

Dari Bentuk pemetaan di atas, bagaimana kita menentukan rumus fungsi inversnya?

Langkah-langkah menentukan invers fungsi f(x)

1.Jika kita mempunyai fungsi f(x), nyatakan dulu ke dalam bentuk y sama dengan fungsi x.

Misalkan jika kita mempunyai fungsi f(x)=5x + 10, jadikan dahulu y = 5x + 10.

2. Kita ubah bentuk pada hasil 1) menjadi bentuk x dalam fungsi y.

3. Mengubah x menjadi f^-1(y)

4. Dengan keidentikan bentuk aljabar,ubahlah y menjadi x.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan berapa contoh berikut.

Contoh 1

Diketahui fungsi f(x) = 2x + 12. Tentukan invers fungsi tersebut.

Jawaban:

f(x) = 2x + 12

y = 2x + 12

2x = y -12

x = (y - 12 )/2

x = y/2 - 6

f^-1(y) = y/2 - 6

f^-1(x) = x/2 - 6

Jadi, invers fungsi dari f(x) = 2x + 12 adalah f^-1(x) = x/2 - 6.

Berikut ini diberikan contoh menentukan invers fungsi dari bentuk kuadrat dan akar.
Perhatikan langkah-langkahnya secara cermat.

Bagaimana menentukan Invers fungsi bentuk pecahan aljabar?
Langkah-langkah menentukan invers fungsi pecahan bentuk aljabar sama seperti langkah-langkah di atas.
Simaklah langkah-langkah berikut.

D. Grafik Fungsi

Suatu fungsi f(x) dan inversnya yang berupa f ^-1 (x) merupakan kebalikan satu dengan lainnya. Kebalikan yang dimaksud dapat dipahami sebagai berikut. Pada fungsi asalnya f(x), elemen xmerupakan input dan y merupakan output, sedangkan pada fungsi inversnya f ^-1 (x), elemen yberperan sebagai input dan x sebagai output. Sederhananya, invers suatu fungsi membalik input dengan output dari fungsi asalnya.

Perhatikan gambar berikut.

Pada pembelajaran sebelumnya, kalian sudah memahami bahwa suatu fungsi mempunyai fungsi invers jika dan hanya jika fungsi tersebut merupakan fungsi bijektif. Selain itu, kalian juga telah mempelajari bagaimana menemukan rumus fungsi invers dari suatu fungsi. Agar kalian ingat kembali cara menemukan rumus fungsi invers, perhatikan langkah berikut ini.

Mengubah fungsi menjadi persamaan y = f (x)
Membentuk x sebagai fungsi y pada langkah pertama dan dimisalkan sebagai f ^-1 (y)
Mengganti y pada f ^-1 (y) dengan x untuk mendapatkan f ^-1 (x) yang merupakan rumus fungsi invers dari fungsi f (x)