LIMIT FUNGSI ALJABAR (Saffanah Janan 21)

A. Pengertian
Limit fungsi aljabar adalah suatu nilai pendekatan disekitar titik tertentu baik pendekatan dari kiri suatu titik maupun pendekatan dari kanan titik tersebut (Dedi Heryadi, 2007).

B. Bentuk
Ada 2 bentuk dalam menentukan limit fungsi aljabar yaitu :
Bentuk pertama
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$
Bentuk kedua
$\lim_{x\rightarrow \sim }f(x)$

Dalam kaitanya dengan bentuk limit pertama ada beberapa metode didalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu dengan metode subsitusi dan metode pemfaktoran.

C. Metode
1. Subsitusi :

Metode subsitusi digunakan apabila dalam hasil perhitungan tidak diperoleh bentuk tak tentu seperti 0/0, ∞ /∞ , ∞ -∞

Contoh (1) :

$\lim_{x\rightarrow 1}\ 3x-1=3(1)-1=3-1=2$

$\lim_{x\rightarrow 1}\ 3x-1=2$

Contoh (2) :

$\lim_{x\rightarrow 2}\ 2x^{2}+5=\ 2(2)^{2}+5=\ 2(4)+5=\ 8+5=\13$

$\lim_{x\rightarrow 2}\ 2x^{2}+5=\ 13$

Contoh (3) :

$\lim_{x\rightarrow -2}\ x^{2}-3x+2=\ (-2)^{2}-3(-2)+2=\ 4+6+2=\ 12$

$\lim_{x\rightarrow -2}\ x^{2}-3x+2=\ 12$

Contoh (4) :

$\lim_{x\rightarrow 1}\ \frac{1-x}{x+1}=\ \frac{1-(1)}{(1)+1}=\ \frac{0}{2}=\ 0$

$\lim_{x\rightarrow 1}\ \frac{1-x}{x+1}=\ 0$

Contoh (5) :

$\lim_{x\rightarrow 1}\ (2x+\frac{3}{x})=\ 2(1)+\frac{3}{1}=\ 2+3=\ 5$

$\lim_{x\rightarrow 1}\ (2x+\frac{3}{x})=\ 5$

Contoh (6) :

$\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{x^{3}}{x^{2}-1}=\ \frac{(0)^{3}}{(0)^{2}-1}=\ \frac{0}{-1}=\ 0$

$\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{x^{3}}{x^{2}-1}=\ 0$

Contoh (7) :

$\lim_{x\rightarrow -1}\ \frac{x^{2}-2x+1}{x+2}=\ \frac{(-1)^{2}-2(-1)+1}{(-1)+2}=\frac{1+2+1}{-1+2}=\ 4$

$\lim_{x\rightarrow -1}\ \frac{x^{2}-2x+1}{x+2}=\ 4$

2. Pemfaktoran atau Faktorisasi

Jika dengan cara subtitusi diperoleh bentuk tak tentu 0/0 atau

maka perhitungan nilai limit dilakukan dengan cara memfaktorkan

Contoh (1) :

$\lim_{x\rightarrow 2}\ \frac{x^{2}-4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{{{\color{Red} (x-2)}}{(x+2)}}{{\color{Red} (x-2)}}=\lim_{x\rightarrow 2}\ (x+2)=\ (2)+2=\ 4$

$\lim_{x\rightarrow 2}\ \frac{x^{2}-4}{x-2}=\ 4$

Contoh (2) :

$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}+4x-5}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{{\color{Red} (x-1)}(x+5)}{{\color{Red} (x-1)}}=\lim_{x\rightarrow 1}(x+5)=(1)+5=6$

$\lim_{x\rightarrow 1}\ \frac{x^{2}+4x-5}{x-1}=\ 6$

Contoh (3) :

$\lim_{x\rightarrow 2}\ \frac{x-2}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}=\ \lim_{x\rightarrow 2}\frac{{\color{Red} (\sqrt{x}-\sqrt{2})}(\sqrt{x}+\sqrt{2})}{{\color{Red} (\sqrt{x}-\sqrt{2})}}$

$\lim_{x\rightarrow 2}\sqrt{x}+\sqrt{2}=\ \sqrt{2}+\sqrt{2}=\ 2\sqrt{2}$

$\lim_{x\rightarrow 2}\sqrt{x}+\sqrt{2}=\ 2\sqrt{2}$

C. Dalam bentuk akar
Dalam menghitung nilai limit fungsi aljabar terkadang kita jumpai bentuk akar, maka cara menyelesaikannya adalah dengan mengalikan akar sekawan . Perhatikan contoh-contoh soal berikut ini,

Hitunglah nilai limit fungsi dibawah ini:

[Penyelesaian]

Dengan subtitusi langsung ,

diperoleh bentuk tak tentu, maka harus menggunakan cara lain yaitu mengalikan dengan akar sekawan.

[Penyelesaian]

Subtitusi langsung akan menghasilkan 0/0, maka:

Limit Fungsi Bentuk Tak Tentu Untuk x Mendekati Tak berhingga

Dalam bahasa matematika untuk menyatakan suatu keadaan atau kondisi yang nilai dan besarnya tidak dapat ditentukan digunakan lambang ∞ (dibacanya tak berhingga). Soal-soal limit fungsi aljabar dengan variabel atau peubah x mendekati tak berhingga, biasanya sering dijumpai dalam bentuk umum seperti dibawah ini:

Bentuk umum limit fungsi aljabar x mendekati tak berhingga adalah,

Jika menggunakan metode subtitusi langsung akan diperoleh bentuk tak tentu

atau ∞ – ∞. Maka cara menghitung nilai limit fungsi aljabar untuk x mendekati tak berhingga menggunakan cara-cara sebagai berikut:

Membagi dengan pangkat tertinggi

Mengalikan dengan sekawan atau faktor lawan

Nah, sekarang kita bahas satu persatu ya…

Limit fungsi Aljabar – Membagi dengan pangkat tertinggi

Menghitung nilai lim x → ∞ f(x)/g(x) dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang f(x) dan penyebut g(x) dengan x^n, dengan n adalah pangkat tertinggi dari f(x) ataupun g(x). Tapi sebelumnya catat terlebih dahulu rumus dibawah ini :

Hitunglah nilai limit fungsi aljabar berikut ini!

[Penyelesaian]
Perhatikan f(x) dan g(x) mempunyai pangkat tertinggi yaitu 1, maka pembilang dan penyebut masing-masing dibagi x, maka

[Penyelesaian]

Perhatikan f(x) dan g(x) mempunyai pangkat tertinggi yaitu 3, maka pembilang dan penyebut masing-masing dibagi

, maka

Perhatikan kembali contoh No 3 dibawah ini:

[Penyelesaian]

Perhatikan f(x) dan g(x) mempunyai pangkat tertinggi yaitu 4, maka pembilang dan penyebut masing-masing dibagi $\small x^4$ , maka

Dari contoh-contoh diatas ada rumus cepat menghitung nilai limit fungsi aljabar :

, yaitu:

1.Jika pangkat tertinggi f(x) sama dengan pangkat tertinggi g(x)

2. Jika pangkat tertinggi f(x) > pangkat tertinggi g(x)

3. Jika pangkat tertinggi f(x) < pangkat tertinggi g(x)

Sekarang rumus-rumus diatas akan dipakai untuk menyelesaikan contoh soal limit fungsi aljabar berikut ini,

Hitunglah nilai setiap limit fungsi dibawah ini!

[Penyelesaian]

Dari soal diatas, pangkat tertinggi f(x) = pangkat tertinggi g(x) yaitu pangkat 3 maka memenuhi (1) jadi

Contoh No 2 ini jika pangkat tertinggi f(x) > pangkat tertinggi g(x):

[Penyelesaian]

Dari soal diatas, pangkat tertinggi f(x) > pangkat tertinggi g(x) memenuhi (2) jadi

Kalau soal No 3 ini pangkat tertinggi f(x) < pangkat tertinggi g(x)

[Penyelesaian]

Dari soal diatas, pangkat tertinggi f(x) < pangkat tertinggi g(x) memenuhi (3) jadi

Limit fungsi Aljabar – Mengalikan dengan faktor lawan/ sekawan

Cara mengalikan dengan faktor lawan biasanya limit fungsi aljabar nya berbentuk

Agar lebih jelas perhatikan contoh soal dibawah ini!

Hitunglah nilai limit fungsi berikut:

[Penyelesaian]

Selain cara menggunakan cara mengalikan dengan faktor lawan ataukalikan sekawan ada atau cara lain menghitung nilai limit fungsi aljabar bentuk lim x → ∞ √ f(x)- √ g(x)} yaitu dengan syarat f(x) dan g(x) merupakan fungsi kuadrat , rumus nya adalah :

Rumus cepat :