BARISAN DAN DERET ARITMATIKA DAN GEOMETRI (DEDARI KHEITA_XIIMIA4_10)
BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
Perbedaan Barisan dan Deret Aritmatika
Barisan adalah himpunan yang anggotanya merupakan hasil pemetaan dari bilangan asli.
Contoh :
1. 1,2,3,4,5
2. 2,5,8,11,14
Deret adalah penjumlahan dari anggota-anggota suatu barisan.
Contoh :
1. 1+2+3+4
2. 2+5+8+11
Barisan Aritmatika
Barisan Aritmatika adalah barisan dengan selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih tersebut dinamakan "beda" yang dilambangkan dengan "b".
Rumus Barisan Aritmatika:
Contoh Soal:
1. Diketahui barisan aritmatika dengan U2 + U5 + U20 = 54. Suku ke-9 barisan tersebut adalah...
a. 16
b. 17
c. 18
d. 19
e. 20
Pembahasan :
Pada dasarnya. untuk mengerjakan soal seperti ini yang perlu kita lakukan adalah mencari nilai suku pertama (a) dan beda berisan (b). Namun, pada sebagian soal kita tidak dapat menntukan nilai a dan b sehingga yang harus kita lakukan adalah melihat hubungan antara persamaan yang ditanya dengan persamaan yang diketahui.
Dari soal diperoleh persamaan :
U2 + U5 + U20 = 54
⇒ [a+(2-1)b] + [a+(5-1)b] + [a+(20-1)b] = 54
⇒ (a+b) + (a+4b) + (a+19b) = 54
⇒ 3a + 24b = 54
⇒ a + 8b = 18
Rumus suku ke-9 :
U9 = a + (9-1)b
⇒ U9 = a + 8b = 18
Maka jawaban dari pertanyaan di atas adalah pada opsi C yaitu 18.
2. Diketahui U2 + U4 = 12 dan U3 + U5 = 16, maka suku ke-7 berisan itu adalah...
a. 30
b. 28
c. 22
d. 18
e. 14
Pembahasan :
Dari soal dapat diperoleh dua persamaan, yaitu :
U2 + U4 = 12
⇒ (a + b) + (a + 3b) = 12
⇒ 2a + 4b = 12
⇒ a + 2b = 6 ...(1)
U3 + U5 = 16
⇒ (a + 2b) + (a + 4b) = 16
⇒ 2a + 6b = 16
⇒ a + 3b = 8 ...(2)
Dari dua persamaan diatas, nilai a dan b dapat dihitung dengan menggunakan metode substitusi, seperti berikut :
a + 2b = 6 ➡ a = 6 - 2b (substitusi ke persamaan ke-2)
a + 3b = 8
⇒ 6 - 2b + 3b = 8
⇒ 6 + b = 8
⇒ b = 2
Karena b = 2, maa a = 6 - 2(2) = 6 - 4 = 2
Jadi, suku pertama barisan tersebut adalah 2 dan suku ke-7 barisan aritmatika teersebut adalah :
U7 = a + 6b
⇒ U7 = 2 + 6(2)
⇒ U7 = 2 + 12
⇒ U7 = 14 (Opsi E)
3. Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut : 10, 13, 16, ..., U10
Tentukan :
a. Suku ke-10
b. Jumlah sepuluh suku pertama (S10)
Pembahasan :
a. Suku Ke-10
Un = a + (n-1)b
⇒ U10 = 10 + (10-1)3
⇒ U10 = 10 + (9)3
⇒ U10 = 10 + 27
⇒ U10 = 37
b. Jumlah sepuluh suku pertama (S10)
Sn = n ➗ 2 (a + Un)
⇒ S10 = 10 ➗ 2 (a + U10)
⇒ S10 = 5 (10 + 37)
⇒ S10 = 5 (47)
⇒ S10 = 235
4. Diketahui barisan aritmatika 5, 8, 11, ..., 125, 128, 131. Suku tengahnya adalah...
Diket :
a = 5
Un = 131
Jawab :
Ut = (a + Un) ➗ 2
⇒ Ut = (5 + 131) ➗ 2
⇒ Ut = 136 ➗ 2
⇒ Ut = 68
Deret Geometri
Jumlah dari n suku pertama suatu barisan geometri disebut deret geometri.
Rumus deret geometri :
Contoh soal :
1. Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut :
3 + 6 + 12+ ...
Tentukan suku ke-5 dari deret tersebut !
Pembahasan :
Rumus suku ke-n deret geometri
Un = ar^n-1
Diket :
a =3
r = 6/3 = 2
Sehingga
Un = ar^n-1
U5 = 3 (2)^5-1 = 3 (2)^4 = 3 (16) = 48
2. Diketahui suku pertama suatu deret geometri adalah 4 dengan suku ke-5 324. Tentukan rasio dari deret berikut !
Pembahasan :
Diket :
U5 = 324
a = 4
Maka
Un = ar^n-1
324 = 4r^5-1
324 = 4r^4
324 ➗ 4 = r^4
81 = r^4
3 = r atau -3 = r
3. Diberikan sebuah deret geometri
3 + 6 + 12 + ...
Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret tersebut !
Pembahasan :
Diket :
a = 3
r = 6/3 = 2
Rumus mencari jumlah n suku pertama deret geometri untuk r > 1, yaitu :
4. Diberikan Sebuah deret geometri sebagai berikut :
24 + 12 + 6 + ...
Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret tersebut !
Pembahasan :
Diket :
a = 24
r = 12/24 = 1/2
Rumus mencari jumlah n suku pertama deret geometri untuk r < 1
Deret Geometri Tak Hingga
Deret geometri tak hingga adalah deret yang penjumlahannya sampai suku ke tak hingga.
Misalkan ada deret U1 + U2 + U3 + ... yang dijumlahkan sampai tak hingga yang disimbolkan sengan S∞. Hasil jumlah tak hingganya (S∞) tergantung dari nilai rasionya (r).
a. Jika r > 1, maka S∞ = + ∞
b. Jika -1 < r < 1, maka S∞ = a ➗ 1-r
c. Jika r < -1, maka S∞ = - ∞
Pada penjumlahan deret geometri tak hingga, ada dua istilah, yaitu :
1. Konvergen (Deret Konvergen), syaratnya -1 < r < 1, artinya jumlah sampai tak hingganya memberikan hasil angka tertentu.
2. Divergen (Deret Divergen), syaratnya r < -1 dan r > 1, artinya jumlah sampai tak hingganya memberikan hasil + ∞ atau - ∞.
Contoh soal :
1. Tentukan hasil penjumlahan dari deret geometri tak hingga berikut :
a. 2 + 4 + 8 + 16 + ...
b. 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ...
c. 3 + (-6) + 12 + (-24) + ...
Pembahasan :
a. r = U2 ➗ U1 = 4 ➗ 2 = 2
Karena r > 1, maka deret ini termasuk divergen dengan hasil penjumlahan deret geometrinya adalah + ∞
b. r = U2 ➗ U1 = 1 ➗ 2 = 1/2
Karena -1 < r < 1, maka deret ini termasuk konvergen dengan hasil penjumlahan deret geometrinya :
S∞ = a ➗ 1 - r = 2 ➗ 1 - 1/2 = 2 ➗ 1/2 = 4
c. r = U2 ➗ U1 = -6 ➗ 3 = -2
Karena r < -1, maka deret ini termasuk divergen degan hasil penjumlahan deret geometrinya adalah - ∞
Deret Geometri Tak Hingga Suku-suku Genap dan Suku-suku Ganjil
Misalkan ada deret geometri tak hingga U1 + U2 + U3 + ...
Deret tersebut bisa dibagi menjadi dua bagian yaitu suku-suku bernomor genap dan ganjil
S∞ = (U1 + U3 + U5 + ...) + (U2 + U4 + U6 + ...)
S∞ = S∞ ganjil + S∞ genap
Artinya jumlah tak hingga merupakan penjumlahan jumlah tak hingga nomor ganjil dengan jumlah tak hingga nomor genap.
Rumus deret geometri tak hingga suku ganjil
S∞ ganjil = a ➗ 1 - r^2
Rumus deret geometri tak hingga suku genap
S∞ genap = ar ➗ 1 - r^2
Menentukan rasio bila diketahui S∞ ganjil dan S∞ genap
S∞ genap ➗ S∞ ganjil = r
Contoh soal :
1. Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 6, sedangkan jumlah suku-sukunya yang bernomor genap adalah dua, maka tentukan suku pertama deret tersebut !
Pembahasan :
Diket :
S∞ = 6
S∞ genap = 2
Tentukan jumlah suku bernomor ganjil dan r
S∞ = S∞ ganjil + S∞ genap
6 = S∞ ganjil + 2
6 - 2 = S∞ ganjil
4 = S∞ ganjil
r = S∞ genap ➗ S∞ ganjil
r = 2 ➗ 4
r = 1/2
Tentukan nilai suku pertama (a)
S∞ = 6
a ➗ 1 - r = 6
a = 6 (1 - r)
a = 6 (1 - 1/2)
a = 6 (1/2)
a = 3
Jadi, nilai suku pertamanya adalah 3
Penerapan Jumlah Tak Hingga Deret Geometri pada Benda yang Dijatuhakan atau Dilemparkan
Dari gambar terlihat bahwa setelah pantulan ke-1 maka suku pertamanya adalah suku ke-2 (U2), setelah pantulan ke-2 maka suku pertamanya adalah suku ke-3 (U3), setelah pantulan ke-3 maka suku pertamanya adalah suku ke-4 (U4), dan seterusnya sampat setelah pantulan ke-k maka suku pertamanya adalah suku ke-k+1 (Uk+1).
Rumus Umum :
PL = (2 x ar^k) ➗ 1 - r
Contoh Soal :
1. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 4 m dan memantul kembali menjadi 2/3 tinggi sebelumnya. Tentukan panjang lintasan bola tersebut sampai berhenti !
Pembahasan :
Diket :
a = 4
r = 2/3
Maka
PL = 2S∞ - a
PL = 2 (a ➗ 1 - r) - a
PL = 2 (4 ➗ 1 - 2/3) - 4
PL = 2 (4 ➗ 1/3) - 4
PL = 2 (12) - 4
PL = 24 - 4
PL = 20 m
2. Sebuah bola dilempar ke atas sehingga mencapai ketinggian 5 m dan memantul kembali menjadi 4/5 tinggi sebelumnya. Tentukan pajang lintasan setelah pantulan e-3 hingga berhenti !
Pembahasan :
Diket :
a = 5
r = 4/5
k = 3
Maka
PL = (2 x ar^k) ➗ 1 - r
PL = [2 x 5 (4/5)^3] ➗ 1 - 4/5
PL = [2 x 5 (64/125)] ➗ 1/5
PL = 2 x 5 x 64/125 x 5
PL = 128/5
Link video pembahasan soal berkaitan tentang bader aritamtika dan geometri
LATIHAN SOAL
- Tentukan suku ke tujuh dari barisan geometri 3, 6, 12, .....!
- Tentukan Rumus Suku ke-n dari barisan 48 , 24 , 12 , ……!
- Dari barisan geometri diketahui bahwa U3 = 4 dan U9 = 256, maka tentukan U12!
- Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan tersebut sama dengan 35, sedangkan hasil kali ketiga bilangan itu sama dengan 1.000. Maka tentukan barisan geometri tersebut!
- Besarnya penerimaan P.T Ccemerlang dari hasil penjualan barangnya Rp. 720 Juta pada tahun kelima dan Rp. 980 juta pada tahun ke tujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung berapa perkembangan penerimaannya pertahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp. 460 Juta?
- Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama produksinya. Dengan adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah produk yang dihasilkan juga ditingkatkan. Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan, berapa jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12 ?. Berapa buah jumlah keramik yang dihasilkannya selama tahun pertama produksinya ?
- Diketahui a, b, dan c berturut-turut adalah suku ke-2, ke-4, dan ke-6 barisan aritmatika. Jika a + b + c ➗ b + 1 = 4, maka nilai b adalah...
- Jika diketahui U5 = 12 dan log U4 + log U5 - log U6 = log 3, maka nilai U4 adalah...
- Jika suku pertama barisan aritmatika adalah -2 dengan beda 3, Sn adalah jumlah n suku pertama tersebut, dan S(n+2) - Sn = 65 maka nilai n adalah...
- Jika a adalah suku pertama, r adalah rasio, da Sn = 5^(n+2) - 25 adalah jumlah n suku pertama, maka nilai a + r = ...
- Diketahui deret bilangan 10 + 11 + 12 + 13 + ... + 99. Dari deret bilangan itu, jumlah bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah...
- Suku ke-3 dan suku ke-7 suatu deret geometri berturut-turut adalah 16 dan 256. Jumlah suku 7 suku pertama deret tersebut adalah...
- Suku pertama dan rasio deret geometri berturut-turut adalah 2 dan 3. Jika jumlah n suku pertama deret tersebut adalah 80, banyak suku barisan tersebut adalah...
- Jumlah konsumsi gula pasil oleh penduduk suatu kelurahan pada tahun 2013 sebesar 1.000 kg dan selalu meningat dua kali lipat setiap tahun. Total konsumsi gula penduduk tersebut pada tahun 2013 sampai dengan tahun 2018 adalah...
- Sebuah ayunan mencapai lintasan pertama sejauh 90 cm dan lintasan berikutnya hanya mencapai 5/8 dari lintasan sebelumnya. Panjang lintasan seluruhnya hingga ayunan berhenti adalah...
.png)
1. Un = a . r ^n-1 U7 = 3 . 2 ^7-1 U7 = 3. 2^6 U7 =3. 64 U7 = 192
BalasHapus3. u3 = 4
ar² = 4
u9 = 256
ar⁸ = 256
u9/u3 = 256/4
ar⁸/ar² = 64
r⁶ = 64
r⁶ = 2⁶
r = 2
ar² = 4
a(2²) = 4
4a = 4
a = 1
un = ar^(n-1)
u12 = 1 x 2¹²⁻¹
u12 = 1 x 2¹¹
u12 = 2048
saffanah janan (21)