Persamaan Lingkaran

Lingkaran dengan jari-jari r=1, berpusat di (a,b)=(1,2 , 0,5)

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran, sedangkan jarak titik terhadap pusat lingkaran disebut jari-jari lingkaran.

Gambar dibawah ini menunjukkan lingkaran dengan pusat P dan jari-jari r.

A. Persamaan Lingkaran

1. Persamaan lingkaran yang berpusat O (0, 0) dan jari-jari r

Pada lingkaran disamping jari-jari atau r = OP, OQ = x dan PQ = y.

Jarak dari O (0, 0) ke P (x, y) adalah.

Berdasarkan rumus Pythagoras

Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan jari-jari r adalah x2 + y2 = r2

Contoh :

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat O (0, 0) dan jari-jari 5

Jawab :

2. Persamaan lingkaran yang berpusat P (a, b) dan berjari-jari r

Persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r dapat diperoleh dari persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r dengan menggunakan teori pergeseran. Jika pusat (0, 0) bergeser (a, b) maka titik (x, y) bergeser ke (x + a, y + b).

Diperoleh persamaan.

Persamaan lingkaran menjadi (x’– a)2 + (y’ – b)2 = r2

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r adalah (x- a)2 + (y – b)2 = r2

Contoh 1 :

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3, 2) dan berjari-jari 4

Jawab :

Pusat (3, 2) maka a = 3 dan b = 2

Persamaan lingkaran (x- a)2 + (y – b)2 = r2

(x- 3)2 + (y – 2)2 = 42

(x- 3)2 + (y – 2)2 = 16

Contoh 2 :

Tentukan persamaan lingkaran berpusat di titik P(2, 3) yang melalui Q(5, -1)

Jawab :

Pusat (2, 3) maka a = 2 dan b = 3

Persamaan lingkaran (x- a)2 + (y – b)2 = r2

(x- 2)2 + (y – 3)2 = 252

B. Bentuk umum persamaan lingkaran

Persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r adalah

(x- a)2 + (y – b)2 = r2

x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2

x2+ y2 – 2ax – 2by + a2+ b2– r2 = 0 atau x2+ y2 + Ax + By + a2+ b2+ C= 0

Jadi bentuk umum persamaan lingkaran x2+ y2 + Ax + By + a2+ b2+ C= 0

Contoh :

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2+ y2 – 4x +2y – 20= 0

Jawab :

A = -4, B = 2, dan C = -20

B. Kedudukan Titik dan Garis Pada Lingkaran

Kedudukan Titik Pada Lingkaran

Letak K (m,n) terhadap X²+Y² +Ax + By +C= 0 , ditentukan oleh nilai kuasa titik tersebut terhadap lingkaran

nilai kuasa K = m²+n² +Am + Bn +C,

K < 0 di dalam lingkaran
K= 0 pada lingkaran
K > 0 di luar lingkaran

Contoh 1:
Tentukan kedudukan titik-titik berikut terhadap lingkaran X²+y² -8x -10y +16 =0 dan gambarlah

a. H(-3,9) b L(7,9), c M(10,5), d N(1,7)

Jawaban:

H(-3,9) K = (-3)²+9² -8.(-3) -10.9 +16 = 40, K > 0, diluar lingkaran

L(7,9) K = (7)²+9² -8.(7) -10.9 +16 = 0, K = 0, pada lingkaran

M(10,5) K = (10)²+5² -8.(10) -10.5 +16 = 11, K > 0, diluar lingkaran

N(1,7) K = 12+72 -8.(1) -10.7 +16 = -12, K < 0, didalam lingkaran

Contoh 2:
Diketahui sebuah lingkaran X²+y² -2x +6y -15 =0 dan sebuah titik S(m,1), tentukan batas nilai m agar

titik S didalam lingkaran
titik S diluar lingkaran

Jawaban:

S(m,1) K	= kuasa
	= m2 +12 - 2m +6.1 - 15
	= m2 - 2m - 8

a.	Syarat di dalam lingkaran, K< 0 m2 -2m -8 <0 (m-4)(m+2)=0
	m=-2 atau m=4
	didalam lingkaran jika -2 < m <4 ( daerah - - - )
	diluar lingkaran, K >0, jika m<-2 atau m >4 (daerah ++ )

Kedudukan Garis Pada Lingkaran
Untuk mengetahui kedudukan/ posisi sebuah garis terhadap lingkaran, substitusikan garis terhadap lingkaran sehingga didapatkan bentuk ax²+bx+c=0.

Lihat diskriminannya:

D=b^2-4 ac

Jika

D<0, berarti garis berada di luar lingkaran (tidak memotong lingkaran)
D=0, berarti garis menyinggung lingkaran
D>0, berarti garis memotong lingkaran di 2 titik berbeda.

Contoh 1:

Tentukan posisi garis:
- $y= x+10$ terhadap lingkaran $x^2+y^2= 9$

Jawab:

x^2 + (x+10)^2=9

x^2+ (x^2+20x+100)-9=0

2x^2 +20x+91=0

D=b^2-4 ac

D=20^2- 4\times 91 \times 2

D= 400-728= -328

Karena

D<0

, maka garis berada di luar lingkaran.

Contoh 2:

Tentukan p agar garis $y= -x+p$ terletak di luar lingkaran $x^2+y^2-2x-4y+3=0$ !

Jawab:

x^2+ (-x+p)^2 - 2x- 4(-x+p)+ 3=0

2x^2 - 2px + p^2 - 2x + 4x -4p + 3=0

2x^2 + (2-2p)x + p^2 -4p + 3=0

syarat:

D<0

(2-2p)^2-4(2)(p^2-4p+3)<0

4p^2-8p+4-8p^2+32p-24<0

-4p^2+24p-20<0

-4(p^2-6p+5)<0

-4(p-5)(p-1)<0

p=5

atau

p=1

Gambar dengan garis bilangan untuk pertidaksamaan diatas, maka akan didapatkan nilai p:

p<1

atau

p>5

C. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Jika persamaan lingkaran $x^2+y^2=r^2$ , maka persamaan garis singgungnya:

Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x₁,y₁) yang terletak pada lingkaran

x_1x + y_1y = r^2

Jika persamaan lingkaran $(x-x_p)^2+ (y-y_p)^2=r^2$ , maka persamaan garis singgungnya:

(x_1-x_p)(x-x_p) + (y_1-y_p)(y-y_p) = r^2

Jika persamaan lingkaran berbentuk $x^2 + y^2 + Ax + By + C =0$ , maka persamaan garis singgungnya:

x_1x + y_1y + \frac {1}{2} A(x+x_1) + \frac {1}{2} B(y+y_1)+C=0

Persamaan lingkaran

x^2 + y^2 + Ax + By + C =0

dapat juga diubah menjadi

(x-x_p)^2+ (y-y_p)^2=r^2

dengan kuadrat sempurna, sehingga rumus yang harus dihafalkan jadi lebih sedikit.

Rumus:

y = mx \pm r \sqrt {m^2+1}

tau

y-y_p = m (x-x_p) \pm r \sqrt {m^2+1}

LATIHAN SOAL

1. Diberikan persamaan lingkaran:

L ≡ x² + y² = 25.

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang memiliki titik singgung di (−4, 3).

Pembahasan
Menentukan garis singgung pada suatu lingkaran yang pusatnya di (0, 0) dan diketahui titik singgungnya.

Lingkaran L ≡ x² + y² = r²
Titik singgung (x₁, y₁)

Persamaan garis singgungnya adalah:

Dengan x₁ = − 4 dan y₁ = 3, persamaan garisnya:
−4x + 3y = 25
3y −4x − 25 = 0

2. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 di titik (7, 1) adalah….
A. 3x − 4y − 41 = 0
B. 4x + 3y − 55 = 0
C. 4x − 5y − 53 = 0
D. 4x + 3y − 31 = 0
E. 4x − 3y − 40 = 0
(un 2011)

Pembahasan
Data soal:
L ≡ x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0
A = −6
B = 4
C = − 12

(7, 1)
x₁ = 7
y₁ = 1

Rumus sebelumnya, diperoleh garis singgung lingkaran:

3. Diberikan persamaan lingkaran:

L ≡ (x − 2)² + (y + 3)² = 25

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan titik singgung pada (5, 1).

Pembahasan
Persamaan garis singgung pada lingkaran:

L ≡ (x − a)² + (y − b)² = r²

pada titik singgung (x₁, y₁)

dengan
a = 2 dan b = −3 dan r² = 25

maka persamaan garisnya

4. Persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² − 2x + 4y − 220 = 0 yang sejajar dengan garis 5 y + 12x + 8 = 0 adalah...
A. 12 x + 5y − 197 = 0 dan 12x + 5y + 195 = 0
B. 12 x + 5y + 197 = 0 dan 12x + 5y − 195 = 0
C. 5 x + 12y + 197 = 0 dan 5x + 12y + 195 = 0
D. 5x + 12y − 197 = 0 dan 5x + 12y − 195 = 0
E. 12 x − 5y − 197 = 0 dan 12x − 5y + 195 = 0

Pembahasan
Lingkaran x² + y² − 2x + 4y − 220 = 0 memiliki pusat:

dan jari-jari

Gradien garis singgungnya sejajar dengan 5 y + 12x + 8 = 0, jadi gradiennya adalah −12/5.

Persamaannya:

Sehingga dua buah garis singgungnya masing-masing adalah

5. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0 di titik (5, 3) adalah....
A. 3x − 4y + 27 = 0
B. 3x + 4y − 27 = 0
C. 3x + 4y − 27 = 0
D. 7x+ 4y − 17 = 0
E. 7x + 4y − 17 = 0
(UN 2005)

Pembahasan
Titik singgung : (x₁, y₁)
pada lingkaran : L ≡ x² + y² + Ax + By + C = 0

Rumus garis singgungnya: