persamaan dan fungsi kuadrat (arrely 04)

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

·      Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Sebuah persamaan yang berbentuk ax²+bx+c dengan a, b, dan c ∈R dan a0. x disebut variable, a merupakan koefisien x², b merupakan koefisien x, dan c merupakan konstanta.

1.     2x²-7x+5=0 merupakan persamaan kuadrat

2.     2x-5=0 bukan merupakan persamaan kuadrat

·      Akar-akar Persamaan Kuadrat

Akar atau penyelesaian sebuah persamaan kuadrat ax²+bx+c=0 adalah nilai pengganti x yang memenuhi persamaan kuadrat ax²+bx+c=0, umumnya dinotasikan dengan x₁ dan x₂. Antara akar-akar (x₁ dan x₂) dan persamaan kuadrat ax²+bx+c=0 terdapat hubungan x₁ = ax₁²+bx₁+c=0 dan x₂ = ax₂²+bx₂+c=0.

Contoh :

1.     Selidiki apakah x₁ = 3 dan x₂ =4 memenuhi persamaan kuadrat x²-7x+12=0.

Pembahasan :

x₁ =      3 > x²-7x+12=0

            3²-7.3+12=0

            9-21+12=0

            0=0

x₂=      4²-7.4+12=0

            16-28+12=0

            0=0

Jadi, x₁ = 3 dan x₂ = 4 memenuhi persamaan kuadrat x²-7x+12=0. Maka, x₁ = 3 dan x₂ = 4 disebut akar-akar persamaan kuadrat.

·      Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat

Ø  Dengan pemfaktoran

Contoh :

x²-5x-14=0

(x+2) (x-7) = 0

x+2=0 V x-7=0

x=-2 V x=7

Hp {-2,7}

Ø  Dengan rumus ABC 

Ø Dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Langkah :       a) nilai c pindah ruas kanan

                        b) sebelum c dipindahkan pastikan a=1

                        c) kedua ruas tambahkan dengan (b/2)²

Contoh :

·      Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

x₁ – x_{2 =}         D = b² – 4ac

·      Membuat Persamaan Kuadrat

x²-5x+6=0

(x – 2) (x – 3) = 0

x = 2 V x = 3

maka (x – x₁) (x – x₂) = 0, dimana x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat.

Contoh :

x₁ = 2 dan x₂ = 3

(x – x₁) (x – x₂) = 0

(x -2 ) (x – 3) = 0

x²-3x-2x+6=0

x²-5x+6=0

maka x² – (jumlah)x + (kali) = 0

x₁ = 2 dan x₂ = 3

jumlah = 5 (2+3)

kali = 6 (2x3)

x²-5x+6=0

·      Fungsi Kuadrat

F(x) = ax² + bx + c dengan a,b, dan c  dan

Contoh :

Diketahui domain fungsi {x∣-2≤x<3, x∈B} tentukan range dengan fungsi f(x) = x² - 5x + 6 !

Pembahasan:

F(x) = x² – 5x + 6

F(-2) = 4 + 10 + 6 = 20

F(-1) = 1 + 5 + 6 =12

F(0) = 0 – 0 + 6 = 6

F(1) = 1 – 5 + 6 = 2

x	-2	-1	0	1	2
F(x)	20	12	6	2	0

F(2) = 4 – 10 + 6 = 0

·      

Diskriminan (D)

D = b² – 4ac   : D > 0, akar-akarnya real dan berbeda x₁x₂

                        : D = 0, akar-akarnya real dan sama x₁=x₂

                        : D < 0, akar-akarnya imajiner

·      Menentukan Arah Kurva

Ø  Jika a > 0, maka kurva menghadap ke atas

Ø  Jika a < 0, maka kurva menghadap ke bawah

·      Menggambar Kurva

Tahapan-tahapan menggambar kurva :

1.     mencari titik potong terhadap sumbu x (y=0)

2.     mencari titik potong terhadap sumbu y (x=0)

3.     mencari titik puncak maximum dan minimum

4.     tambahkan satu titik yang lain

Contoh :

Gambarlah kurva dari y = -x² + 4x – 5 dengan domain -2∈x∈5 dan tentukan range nya !

Pembahasan :

Grafik terbuka ke bawah karena a < 0

1.     Titik potong terhadap sumbu x (y=0)

-x² + 4x – 5 = 0

-(x² – 4x + 5) = 0

-(x – 5) (x + 1) = 0

x – 5 = 0 V x + 1 = 0

x = 5 V x = -1

jadi titik potong terhadap sumbu x adalah (5,0) dan (-1,0)

2.     Titik potong terhadap sumbu y (x=0)

y = -0² + 4.0 – 5

y = -5

jadi titik potong terhadap sumbu y adalah (0,-5)

3.     Titik puncak

x =  =  = 2

y = -1

jadi titik puncaknya (2, -1)

4.     Titik bantu

x = -2

y = -(-2)² + 4(-2) – 5 = -4-8-5 = -17

titik bantunya (-2, -17)

·      Latihan

1.     Diketahui 3x² – 8x + 5 = 0, tentukan :

a)    selisih kuadrat akar-akar persamaan kuadrat

b)   hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

2.     Diketahui 5x² – 13x – 6 = 0, tentukan akar-akar persamaan kuadratnya dengan menggunakan rumus ABC!

3.     Gambarlah kurva f(x) = x² + x – 6!