PROGRAM LINEAR (Azka 06)

Program linear ialah teknik optimasi yang melibatkan variable-variabel linear. Dalam program linear dikenal 2 macam fungsi : fungsi objektif dan fungsi kendala.

Program Linear merupakan bagian dari matematika berupa pemecahan masalah pengoptimalan, yaitu memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear yang bergantung pada kendala (batasan) linear. Kendala ini bisa berupa pertidaksamaan atau persamaan linear.

Sebagai contoh, kita ingin memaksimalkan nilai dari x + y dengan kendala:

3x + y ≤ 6 

2x + 4y ≤ 8

x + y ≥ 1

Jadi, nilai x dan y yang memaksimumkan nilai x + y harus memenuhi ketiga pertidaksamaan (kendala) di atas.

Untuk dapat menguasai materi program linear, harus memahami lebih dahulu materi persamaan garis lurus dan system pertidaksamaan linear.

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan ini dapat ditentukan dengan menggunakan metode grafik dan uji titik serta subsitusi (0,0)

bentuk umum program linear dalam 2 variabel adalah ;

- ax + by < c

- ax + by ≤ c

- ax + by > c

- ax + by ≥ c

contoh pertidaksamaan :

2x + 3y ≤ 6

x - y ≥ 4

3x + 5y - 15 < 0

contoh soal :

Tentukanlah himpunan penyelesaian (menggunakan grafik) dari :

Jawab:

Gambarkan terlebih dahulu grafik , , dan  pada koordinat Cartesius. Perhatikan grafik di bawah ini:

Kemudian, uji masing-masing pertidaksamaan pada titik O (0,0), untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan, dan perhatikan  daerah irisannya. Maka didapat himpunan penyelesaiannya seperti pada grafik berikut:

 Dengan soal yang sama dengan soal di atas menggunakan metode substitusi (0,0) :

menggambar garisnya dengan cara buat garis 3x + y = 15, substitusikan (0,0)

sehingga x (0,15)

            y (5,0)

3(0) + (0) ≤ 15 (benar)

buat garis x + 2y = 10, substitusikan (0,0) 

sehingga x (0,5)

              y (10,5)

(0) + 2(0) ≤ 10 (benar)

buat garis x + y = 5, substitusikan (0,0) 

sehingga x (0,5)

             y (5,0)

(0) + (0) ≥ 5 (salah)

GUNAKAN :

jika nilai y (positif) dengan tanda ≥, maka yang diarsir bagian atas garis

      Nilai y (positif) dengan tanda ≤, maka yang diarsir bagian bawah garis

      Nilai y (negatif) dengan tanda ≥, maka yang diarsir bagian bawah garis

      Nilai y (negatif) dengan tanda ≤, maka yang diarsir bagian atas garis.

latihan soal :

1. nilai maksimum dari 7x + 6y dengan syarat 3x + 5y ≥ 60, 6y + 5x ≥ 90 serta  x + y ≥ 0 

2. tentukan himpunan penyelesaian dari  2x + 3y ≥ 6, x + y ≥ 3

3. Nilai minimum dari f(x,y) = 4x + 5y yang memenuhi pertidaksamaan 2x + y ≥ 7, x + y ≥ 5, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah… 

untuk menyelesaikan soal cerita program linear, dibutuhkan kemampuan analisis yang lebih tinggi dibanding program linear yang biasa. hal ini karena dituntut untuk menyusun sendiri persamaan atau pertidaksamaan linear sesuai dengan cerita untuk menentukan himpunan penyelesaiannya secara teliti.

contoh soal :

sebuah perusahaan mebel membutuhkan 18 unsur A dan 24 unsur B. jika untuk membuat produk 1 membutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B sedangkan untuk memproduksi produk 2 membutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. jika produk 1 dijual seharga 250.000 dan produk 2 dijual seharga 400.000. untuk memperoleh penjualan maksimum berapa masing-masing produk yang harus dibuat?

jawab :

Barang I akan dibuat sebanyak x unit
Barang II akan dibuat sebanyak y unit

Ilustrasi berikut untuk memudahkan pembuatan model matematikanya:

x + 3y ≤ 18
2x + 2y ≤ 24

Fungsi objektifnya:
f(x, y) = 250000 x + 400000 y

Titik potong 
x + 3y = 18 |x2| 
2x + 2y = 24 |x 1| 

2x + 6y = 36
2x + 2y = 24
____________ _
4y = 12
y = 3
2x + 6(3) = 36
2x = 18
x = 9
Titik potong kedua garis (9, 3) 

Berikut grafik selengkapnya:

Uji Titik ke f(x, y) = 250000 x + 400000 y
Titik (0,0) f(x, y) = 250000 (0) + 400000 (0) = 0
Titik (12, 0) f(x, y) = 250000 (12) + 400000 (0) = 3000 000
Titik (9, 3) f(x, y) = 250000 (9) + 400000 (3) = 3450 000 
Titik (0, 6) f(x, y) = 250000 (0) + 400000 (6) = 2400 000

Dari uji titik terlihat hasil maksimum jika x = 9 dan y = 3 atau dibuat 9 barang jenis I dan 3 barang jenis II.

latihan soal :

1. Luas daerah parkir 1.760 m². Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m² dan mobil besar 20 m². Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah....

2. Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung dengan harga Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp600.000,00, maka keuntungan maksimum yang diterima pedagang adalah…

3. Seorang pedagang gorengan menjual pisang goreng dan bakwan. Harga pembelian untuk satu pisang goreng Rp1.000,00 dan satu bakwan Rp400,00. Modalnya hanya Rp250.000,00 dan muatan gerobak tidak melebihi 400 biji. Jika pisang goreng dijual Rp1.300,00/biji dan bakwan Rp600,00/biji, keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang adalah…

untuk lebih memahami tentang materi program linear ini, bisa dilihat sebuah video dibawah ini yang diharapkan dapat membantu pembelajaran kali ini

untuk diskusi lebih lanjut, tinggalkan pada komentar dibawah ya!