MATRIKS (Clarissa Firyal Khansa

A. Pengertian Matriks

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang berbentuk persegi panjang.
Baris pada sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks. Sedangkan Kolom sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks.

Susunan bilangan dalam matriks ini diletakkan didalam kurung biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”.
Dalam penamaan suatu matriks biasanya dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya matriks A,
B, C, D, ..., dan seterusnya.

Dalam matriks dikenal dengan istilah ordo. Ordo suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n) pada matriks.
contoh : Suatu matrik A dengan m baris dan n kolom ditulis

$A_{m\times n}=\begin{bmatrix} a{_{11}} &a_{12} & ...&a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& ... &a_{2n} \\ ...& ...& ...&... \\ a_{m1}& a_{m2}& ...&a_{mn} \end{bmatrix}$

B. Jenis-jenis Matriks

Beberapa jenis matriks berdasarkan ordo dan elemen-elemen matriks adalah sebagai berikut.

1. Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris. Misalnya:
$B=\begin{bmatrix} 1 & -2& 3 &4 \end{bmatrix}$

2. Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom. Misalnya:
$C=\begin{bmatrix} -1\\ 3\\ 2\end{bmatrix}$

3. Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris sama dengan banyak kolom. Misalnya:
$D=\begin{bmatrix} 2 & -1& 3\\ -1& 1& -2\\ 3& 2 & 1 \end{bmatrix}$

4. Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol.
$E= \begin{bmatrix} 0 & 0& 0 & 0\\ 0& 0 & 0 &0 \\ 0& 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

5. Matriks identitas adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0. Misalnya:
$I= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0& 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

6. Matriks Skalar adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol. Misalnya:
$F= \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0\\ 0& 4 & 0\\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$

7. Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen di luar diagonal utamanya bernilai nol. Misalnya:
$G= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0& 2& 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

8. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
$H=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 &4 \\ 0 & -1 & 3& 2\\ 0& 0 & 3 &4 \\ 0 & 0& 0 & -2 \end{bmatrix}$

9. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. Misalnya:
$H=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 &0 \\ -1 & -1 & 0& 0\\ 3& 5 & -2 &0\\ 1 & 4& 2 & -2 \end{bmatrix}$

10. Transpos matriks A atau (A t) adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara menuliskan baris ke-i matriks A menjadi kolom ke-i dan sebaliknya, menuliskan kolom ke-j matriks A menjadi baris ke-j
Misalnya, jika matriks A
$A=\begin{bmatrix} 2 & -1 & -3 &-3 \\ -1 &1 &2 & 2\\ 3& 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$
maka matriks transpos dari A adalah
$A^{t}=\begin{bmatrix} 2 & -1 & 3\\ -1& 1 & 2\\ -3&2 & 1\\ -3&2 & 3 \end{bmatrix}$

C. Kesamaan Dua Matriks

Matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A=B, jika keduanya berukuran sama dan semua unsur seletak sama.

Jika

$A=\left [ a_{ij} \right ]_{m\times n }& dan & & B=\left [ b_{ij} \right ]_{m\times n }\Rightarrow A=B$

untuk setiap i = 1, 2, 3, ..., m dan j = 1, 2, 3, ..., n

Berbagai sifat yang berkaitan dengan kesamaan dua matrik dan tranposnya adalah sebagai berikut $\left ( A^{t} \right )^{t}=A$

$A=B \Leftrightarrow A^{t}=B^{t}$

$A=B^{t} \Leftrightarrow A^{t}=B$

contoh :

jika matriks

$A=\begin{bmatrix} x+y & y\\ x& x-y \end{bmatrix}$

memenuhi A = B, maka tentukan x dan y
jawab :
dari A = B diperoleh
$\begin{bmatrix} x+y & y\\ x&x-y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}x\\ -2y& 3 \end{bmatrix}$
yang menghasilkan persamaan linier dua peubah
$\left\{\begin{matrix} x+y=1 &................(1) \\ x-y=3&.................\left ( 2 \right ) \\ y=-\frac{1}{2}x&..................(3)\\ x=-2y& ..................(4) \end{matrix}\right.$
dari persamaan (1) dan (2) diperoleh x = 2 dan y = -1
nilai x = 2 dan y = -1 juga memenuhi persamaan (3) dan (4)

D. Operasi pada Matriks

Jika matriks A dan B berukuran sama, maka

Penjumlahan

Jumlah matriks A dan B ditulis A + B adalah suatu matriks yang diperoleh dari menjumah setiap unsur seetak dari A dan B

Perkalian dengan skalar

Hasil kali matriks A dengan skalar k, ditulis kA adalah suatu matriks yang diperoleh dari perkalian konstanta k dengan setia unsur dari A

Pengurangan

Selisih dari matriks A dan B ditulis A - B adalah suatu matriks yang diperoleh dari pengurang setiap unsur seletak dari A dan B.

Contoh :

Jika

$A=\begin{bmatrix} 1 & 2& -1\\ 2& -1 &3 \end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix} -1 & 1& 2\\ 2& 1 &-1 \end{bmatrix}$

maka (a) A + B (b) 2A - 3B (c) 2At + Bt

Jawab :

$A+B=\begin{bmatrix} 1 & 2 &-1 \\ 2& -1& 3 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -1 & 1&2 \\ 2& 1 & -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 3 & 1\\ 4& 0 & 2 \end{bmatrix}$ $2A-3B=2\begin{bmatrix} 1 & 2 &-1 \\ 2&-1 & 3 \end{bmatrix}-3\begin{bmatrix} -1 & 1 & 2\\ 2&1 & -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 4& -2\\ 4& -2 & 6 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} -3 & 3& 6\\ 6& 3 & -3 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} 5 & 1& -8\\ -2& -5 & 9 \end{bmatrix}$

$2A^{t}+B^{t}=2\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 2&-1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -1 &2 \\ 1 &1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 4\\ 4&-2 \\ -2&6 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -1 &2 \\ 1 &1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$